無限ホテルのパラドックス

先日ちょいと面白い記事を見つけましたゆえ紹介。

このパラドックス説明できる奴いる?『無限ホテルのパラドックス』

ヒルベルトの無限ホテルといい
集合論で無限集合を認めた際に起こる
パラドックスに関するお話です。

こういう数学的な話にはよくあることですが、
この無限も理解できる人とできない人がいるようですね。

どの部分で思考が詰まってしまうのかを考えるのも一興、
面白かったので自分なりの解釈をちょいと書いてみます。
(無限ホテルの内容に関してはリンク先のWikiをご覧ください)


まずこの無限ホテルの解を自分なりにまとめると


現在ある無限が、新しく入る要素を始まりとする無限に変化する。

という言葉で説明できます。
では何故違和感が出来てしまうのかを自分なりに考えてみました。


1.満室という言葉の定義

スレでコメントしてる方もいますが、
本来無限に部屋があるのに満室になっているという状況は
無限を表現するに当たって適さない言葉です。

満室とは無限の客室に無限の客が宿泊している状態を指しますが、
これは客室の無限と客の無限は同じだということです。

結論から言うと、無限の客に一人追加したところで
客室の無限と客の無限は同じものになるということですね。



2.ある部分を一つの行為とする

ここでは二つの要素「無限(部屋)」と「無限(客)」があるとします。
解説では無限(客)に部屋を一つずつずれて貰うことで
一号室に空きが出来ると説明しています。

実はこの時、無限(部屋)は無限(客)よりも1多い状況ができます。
結論は無限(客)を1増やしても無限(客)は無限(部屋)と
同じになる、ということなのですが、
この一瞬だけ(感覚的に)無限(部屋)が増えたように見えるのです。
恐らくはこれが違和感の正体。

だから「ずれる」という行為と「客が追加される」行為を
一つの動作としてみないと違和感が生まれてしまいます。


因みに一号室に空きができるのは説明するに当たっての言葉の綾で、
実際のところ新しく来店した客は2号室でも58号室でも、
以降の客にずれて貰えればどこにでも入ることができます。

では何故一号室かというと、人間が2以降の無限を認識できないからです。
というよりは、「無限」に広がる状態の「終点」を認識できないからです。
ただし無限の広がりの「開始地点」は誰でも認識できます。

よってこの問題では敢えて一つ目に要素を追加してるのだと思います。
人間が認識するために。


という観点からの自分の結論が

現在ある無限が、新しく入る要素を始まりとする無限に変化する。

となるわけです。
こういうものを言葉で説明しようとすると
難解になるからいかんですね。
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